\chapter{琼斯经济增长阅读笔记}


\section{经济增长的事实}
\section{索洛模型}
\section{新古典增长模型的实证应用}
\section{创意经济学}
\section{增长的引擎}
\section{一个简单的增长与发展模型}
\subsection{基本模型}
各国使用劳动$ L $和一系列资本品$ x_j $生产通知产品Y，工人的技能水平为$ h $，生产函数可以写为，
\[ Y = L^{1-\alpha}\int_{0}^{h}x_j^\alpha dj \]

为简化，一单位原料资本可以生产任一种中间资本品，
\[ \int_{0}^{h(t)}x_j(t)dj=K(t) \]

如果中间产品被同等看待即$ x_j=x $，那么经济中总生产函数则为，
\begin{equation}\label{Y}
 Y=K^\alpha (hL)^{1-\alpha}
\end{equation}


资本积累方程如往常一样，
\[ \dot{K}=s_KY-\delta K \]

$ s_K $是投资占产出的比重。假设个人通过下式所示关系，学习使用更多的先进资本品，
\[ \hat{h}= \mu e^{\psi u}A\gamma h^{1-\gamma}\]

其中$ u $表示个人花再积累技能而非工作上的时间，$ A $代表世界技术前沿，同时$ \mu >0, 0<\gamma \le 1 $。那么就可以推出技能的增长为，
\begin{equation}\label{h}
 \frac{\dot{h}}{h}=\mu e^{\psi u}\left(\frac{A}{h}\right)^\gamma
\end{equation}

这个式子意味着越接近前沿，中间产品越难学习使用。再假设技术前沿以常数速率$ g $增长，
\[ \frac{\dot{A}}{A}=g \]
\paragraph{稳态分析}稳态意味着$ h $以常数增长。那么，它要是常数，从\eqref{h}式可知$ A $比与其增速一致。同时观察到，总生产函数\eqref{Y}式类似于劳动增强型生产函数，因此，$ y=Y/L,k=K/L $则与$ h $有着同样的增长速率。于是，有，
\[ g_y=g_k=h_h=g_A=g \]

资本积累方程写成人均形式，
\begin{align*}
\dot{K}&=s_KY-\delta K \\
\Longrightarrow \frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}} + \frac{\dot{L}}{L}+\frac{\dot{h}}{h}=\frac{\dot{K}}{K}&=s_K\frac{Y}{K} -\delta\\
\Longrightarrow \frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}} &=s_K\frac{Y}{K} -\delta - n-g \\
\Longrightarrow \left(\frac{K}{Y}\right)^* &=\frac{s_K}{\delta + n+g}= \left(\frac{\hat{k}}{\hat{y}}\right)^*\hspace{2em}\text{稳态时}\frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}}\text{为0, *意味着稳态时取值}
\end{align*}

其中，$ \hat{k}= K/hL$。生产函数写成人均形式，并代入上式，就得到均衡状态下的人均产出为，
\begin{align*}
\hat{y}&=\hat{k}^\alpha\\
\Longrightarrow \hat{y}\cdot \hat{y}^{-\alpha}&=\left(\frac{\hat{k}}{\hat{y}}\right)^\alpha\\
\Longrightarrow \hat{y}&=\left(\frac{\hat{k}}{\hat{y}}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\\
\Longrightarrow y^* &=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}h^*(t)\\
\Longrightarrow y^* &=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\left(\frac{\mu e^{\psi u}}{g}\right)^{1/\gamma}A^*(t)\hspace{2em}\text{利用了\eqref{h}式}
\end{align*}

\subsection{全球化和贸易}
可以采用国外技术，于是生产函数变为，
\[ Y = L^{1-\alpha}\int_{0}^{h+m}x_j^\alpha dj \]
其中，$ m $表示从其他国家进口的中间产品种类数。若再将中间产品一视同仁，$ x_j=x $。如果令$ z $表示本国已经学会生产的每一种中间产品的数量，那么，
\[ h(t)z(t)=K(t) \]

这些生产的中间产品有$ h(t)x(t) $个给自己用，$ m(t)x(t) $个卖给国外。意即，
\[ K(t)=h(t)x(t)+m(t)x(t) \]

结合生产函数，可以得到，
\[ Y=K^\alpha [(h+m)L]^{1-\alpha}= K^\alpha (hL)^{1-\alpha}\left(1+\frac{m}{h}\right)^{1-\alpha}\]

那么，此时人均产出可以写为，
\begin{align*}
\hat{y}&=\left(1+\frac{m}{h}\right)^{1-\alpha}\hat{k}^\alpha\\
\Longrightarrow \hat{y}\cdot \hat{y}^{-\alpha}&=\left(\frac{\hat{k}}{\hat{y}}\right)^\alpha\left(1+\frac{m}{h}\right)^{1-\alpha}\\
\Longrightarrow \hat{y}^*&=\left(\frac{\hat{k}}{\hat{y}}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\left(1+\frac{m}{h}\right)=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\left(1+\frac{m}{h}\right)\\
\Longrightarrow y^* &=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\left(1+\frac{m}{h}\right)h\\
\Longrightarrow y^* &=\left(\frac{s_K}{\delta + n+g}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}\left(\frac{\mu e^{\psi u}}{g}\right)^{1/\gamma}\left(1+\frac{m}{h}\right)A^*(t)\hspace{2em}\text{利用了\eqref{h}式}
\end{align*}


